... ist "die" Flagge mit "dem" Adler ...

… sehr häufig nicht die Bundesdienstflagge. Vielmehr ist hier vor dem Hintergrund der Bundesflagge das Bundeswappen zentriert abgebildet - und nicht der Bundesschild. Auch wenn diese Flagge offiziell nicht definiert ist, könnte man daher am ehesten umgangssprachlich von der "Bundeswappenflagge" sprechen. Fälschlicherweise bezeichnen selbst einige Flaggenhersteller und -lieferanten sie als Bundesdienstflagge. 

+ Bundesdienstflagge Quelle: Protokoll Inland

Im Vergleich dazu hat die Dienstflagge der Bundesbehörden gemäß Abschnitt I. Nr. 3 der Anordnung über die deutschen Flaggen "die gleichen Querstreifen wie die Bundesflagge, darauf, etwas nach der Stange hin verschoben, in den schwarzen und den goldfarbenen Streifen je bis zu einem Fünftel übergreifend, den Bundesschild, den Adler nach der Stange gewendet, Verhältnis der Höhe zur Länge des Flaggentuches wie 3 zu 5“. 

Erst bei einem direkten Vergleich von Gefieder und Fängen werden die Unterschiede zwischen der Darstellung des Bundesadlers auf dem Bundeswappen und jener auf dem Bundesschild offenkundig.